Triangle Cross Product Theorem

<p>For any oriented triangle ABC:

AB&#160;× AC = BC × BA = CA × CB

&#160;

Proof:

Set the vector u = AB, v = AC so that BC = v - u

Then BC × BA = (v - u) × (-u) = v × (-u) + u × u

&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;= -v × u = u × v = AB × AC

&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;CA × CB = (-v) × (u - v) = (-v) × u + v × v

&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;= -v × u = u × v = AB × AC</p>