Harmonisk Oscillator

Mekanisk Oscillator:

Den idelle modellen er et massepunkt som oscillerer rundt et balansepunkt, men i virkeligheten er en masse opphengt på en fjær som oscillerer loddrett rundt en balansepunkt den enkleste modellen.

Det er tre egenskaper til denne modellen:

• massen m [kg].

• fjærkonstant/fjærstivhet k [N/m].

• dempingskonstant/dempekoeffisient r [Ns/m]

Dersom svingesystemet ikke får tilført energi, vil det etter hvert slutte å svinge, noe som er avhengig av depingskonstant.

Hvis systemet får tilført energi, blir det kalt for tvungne mekaniske svingninger

\(F=F_0 \sin \omega t\) (1)

Fjærkraften på membranen kan beskrives ved Hookes lov:

\(F_k=-kx\) (2)

Dempingskraften vil også ha negativt fortegn, og kan beskrives slik:

\(F_r=-rv=-r\frac {dx}{dt}\) (3)

Ifølge Newtons 2. lov:

\[\Sigma \vec F= m\vec a\]

\[\vec F_k+\vec F_r= m\vec a\]

\(m\frac{d^2x}{dt^2}+ r\frac {dx}{dt}+kx=0\) (4)

Det er en 2. ordens differensialligning som tar en løsning av formen beskrevet i liknning (1):

\(m\frac{d^2x}{dt^2}+ r\frac {dx}{dt}+kx=F_0 \sin \omega t\) (5)

Etter en viss tid, avhengig av dempningen, inntrer en stasjonær tilstand hvor oscillatoren utfører tvungne svingninger med samme frekvens ω som den påtrykte frekvensen av forsyningsinnretningen. For å finne en passende løsning av (5), antas det en stasjonær tilstand på formen:

\[x(t) = x_0 \sin(\omega t - \phi)\]

der ϕ er fasevinkelen mellom utslag og påtrykt kraft:

\[\frac {dx}{dt} = \omega x_0 \cos(\omega t - \phi)\]

\[\frac {d^2x}{dt^2} = -\omega^2 x_0 \sin(\omega t - \phi)\]

ved å sette de deriverte inn i (5):

\[-m\omega^2 x_0 \sin(\omega t - \phi)+r\omega x_0\cos(\omega t-\phi) +kx_0 \sin (\omega t-\phi)=F_0 \sin \omega t\]

.

.

.?

\(x_0=\frac {F_0}{m\sqrt {(\omega ^2-\omega_0^2)^2}+(\frac {r}{m})^2\omega^2}\) (6)

Effekt:

Effektoverføringen til systemet er P = Fv, og kan regnes ut som følger:

\[F=F_0\sin \omega t\]

\[v=\frac {dx}{dt}=\omega F_0 \cos(\omega t-\phi) \]

\[P=\omega F_0^2 \sin (\omega t)\cos (\omega t -\phi)\]

Ligningen viser at effekten varierer med tiden. Derfor er det hensiktsmessig å se på tidsmiddelet til effekten, som kan regnes ut som middelverdien over en svingeperiode T = 1/f:

\[\langle P\rangle =\frac 1T \int_0^TP\ dt\]

\[\langle P\rangle =\frac 1T \int_0^TFv\ dt\]

\[\langle P\rangle =\frac 1T \int_0^T \omega F_0 \sin (\omega t)\cos (\omega t-\phi)\ dt\]

Utrykket kan forenkles ved bruk av trigonometrisk identitet:

\[\sin(A)\cos(B) = \frac{1}{2}[\sin(A + B) + \sin(A - B)]\]

\[\langle P \rangle = \frac{1}{T} \int_0^T \frac{1}{2} \omega F_0 [\sin(2\omega t - \phi) + \sin(\phi)] dt\]

\(\sin(\phi)\) kan trekkes ut siden den er en konstant:

\[\langle P \rangle = \frac{1}{T} \left(\frac12\omega F_0 \sin \phi \int_0^T dt + \frac{1}{2} \omega F_0 \int _0^T\sin(2\omega t - \phi) dt\right)\]

Det første integralet blir:

\[\int_0^T dt = T\]

Det andre integralet:

\[\int_0^T \sin(2\omega t - \phi) dt\]

Ved bruk av trigonometrisk identitet:

\[\sin(A) = \sin(B + C) = \sin(B)\cos(C) + \cos(B)\sin(C)\]

\[\int_0^T [\sin(2\omega t)\cos(\phi) + \cos(2\omega t)\sin(\phi)] dt\]

\[=\cos \phi\int_0^T \sin(2\omega t) dt+ \sin \phi \int_0^T\cos(2\omega t)dt\]

But:

\[\int_0^T\sin(2\omega t)dt=0\]

og:

\[\int_0^T\cos(2\omega t)dt=0\]

Dermed forenkles det andre integralet til null.

\[\langle P \rangle = \frac{1}{2} \omega F_0 \sin(\phi)\]

\[x_0=\frac {F_0}{m\sqrt {(\omega ^2-\omega_0^2)^2}+(\frac {r}{m})^2\omega^2}\]

\[\langle P\rangle =\frac 12 r(\omega A_x)^2\]

Elektrisk Oscillator:

Kretsen RCL representerer et system av tvungne elektriske svingninger.

• kondensator med kapasitans C [F],

• spole/induktor med induktans L [H],

• motstand med resistans R [Ω],

I følget Kirchhoffs andre lov:

\(U=U_R+U_L+U_C\) (1)

I det samme som motstand R har spolen indre motstand \(R_L\) som kan ikke ignoreres. Den er koblet i serie med R og derfor kan de to motstandene kombineres:

\[R_{e}=R+R_L\]

så:

\(U_{R_e}=IR_e=R_e\frac {dQ}{dt}\) (2)

\(U_L=L\frac {dI}{dt}=L \frac {d^2Q}{dt^2}\) (3)

\(U_C=\frac QC\) (4)

Fra spenningskilden er spenningen gitt ved:

\[U=U_0 \sin \omega t\]

så:

\(L\frac {d^2Q}{dt^2}+R_e\frac {dQ}{dt}+\frac QC=U_0 \sin \omega t\) (5)

Sammenligning tvungne svingninger:

Fra (5,1)(5,2):

Selv om den fysiske betydningen av de mekaniske og elektriske parametrene er forskjellige, viser de at de er helt analoge og vil ha samme oppgave i å kontrollere dynamikken i systemet.

Analogi mellom mekaniske og elektriske svingninger

Løsning av differensialligningen:

\(L\frac {d^2Q}{dt^2}+R_e\frac {dQ}{dt}+\frac QC=U_0 \sin \omega t\) (1)

Med antagelse at det er en stasjonær tilstand på formen:

\[Q(t) = Q_0 \sin(\omega t - \phi)\]

så, de deriverte skrives slik:

\(Q'(t) = \omega Q_0 \cos(\omega t - \phi)\) (2)

\(Q''(t) = -\omega^2 Q_0 \sin(\omega t - \phi)\) (3)

ved å sette (2),(3) inn i (1):

\[L(-\omega^2 Q_0 \sin(\omega t - \phi)) + R_e(\omega Q_0 \cos(\omega t - \phi)) + \frac{1}{C}(Q_0 \sin(\omega t - \phi)) = U_0 \sin(\omega t)\]

så:

\[-L\omega^2 Q_0 \sin(\omega t - \phi) + R_e\omega Q_0 \cos(\omega t - \phi) + \frac{1}{C}Q_0 \sin(\omega t - \phi) = U_0 \sin(\omega t)\]

Ved sammenligning av koeffisientene av sin og cos:

\[-L\omega^2 Q_0 + \frac{1}{C}Q_0 = U_0 \]

\[R_e\omega Q_0 =0\]

\[Q_0=\frac {U_0}{-L\omega^2+\frac 1C}\]

.

.

.?

\[Q_0=\frac {U_0}{L \sqrt {{(\omega ^2 - \omega ^2_0)^2}+(\frac {R_e}{L})^2 \omega ^2}}\]

Strøm:

\[I=\frac {dQ}{dt}=\frac {d}{dt} Q_0 \sin (\omega t -\phi)\]

\[I=\omega Q_0 \cos (\omega t -\phi)=\omega Q_0\sin(\omega t-\phi+\frac \pi2)\]

\[I_0=\omega Q_0=\omega .\frac {U_0}{L \sqrt {{(\omega ^2 - \omega ^2_0)^2}+(\frac {R_e}{L})^2 \omega ^2}}\]

der er også:

\[\omega_0^2=\frac 1{LC}\]

så:

\[I_0=\frac {U_0}{\sqrt {{(\omega L -\frac 1{\omega C})^2}+(\frac {R_e}{L})^2}}\]

\[I=\frac {U_0}{\sqrt {{(\omega L -\frac 1{\omega C})^2}+(\frac {R_e}{L})^2}}\sin(\omega t-\phi+\frac \pi2)\]

Strømmen er faseforskjøvet γ = ϕ−π/2 i forhold til den påtrykte spenningen. Derfor er det hensiktsmessig å finne faseforskyvningen mellom strøm og spenning som:

\[\tan \gamma = -\cot \phi\]

men:

\[\tan \phi = \frac {R_e \omega}{L(\omega ^2-\omega_0^2)}\]

så:

\[\tan \gamma = \frac {L(\omega_0^2-\omega^2)}{R_e \omega}\]

Effekt:

Effektoverføringen til systemet er P = UI og kan regnes ut helt analogt som for et

mekaniske svingesystem.

\[I=I_0 \cos (\omega t -\phi)\]

\[U=U_0 \sin \omega t\]

\[P=I_0 U_0 \sin(\omega t)\cos(\omega t-\phi)\]

\[\langle P \rangle = \frac{1}{2} I_0 U_0 \cos(\phi)\]