Fysisk Pandel

Definisjon:

En fysisk pendel er et stivt legeme som svinger rundt en akse under påvirkning av gravitasjonen.

Steiners teorem:

Treghetsmomentet \(I \) til et objekt i forhold til en parallell akse beregnes ved å legge til et ekstra bidrag basert på massen (m) til objektet og avstanden \(l\) mellom de to aksene:

\(I=I_c+l^2m\) (1)

Der \(I_c\) er treghetmomentet til legemet i massesenteret.

Treghetsradien er gitt ved:

\(R_g^2=\frac {I_c}{m}\) (2)

så:

\(I=m(R_g^2+l^2)\) (3)

kraftmomentet \(\vec \tau\) på pendelen er gitt ved:

\(\vec \tau =I\ \vec \alpha\) (4)

Pendelen er utsatt bare til tyngdekraften, dersom er friksjon og luftmotstand er sett bort fra. Så:

\(\vec \tau =\vec l\times m \vec g\) (5)

(5,4):

\[I\ \vec \alpha =\vec l \times m \vec g\]

\[-m(R_g^2+l^2)\alpha =mgl \sin \theta\]

Med approksimasjonen \(\sin \theta \approx\theta \) for små amplituder

\[\alpha = \frac {d^2\theta}{d\theta ^2 }\]

\[-m(R_g^2+l^2)\frac {d^2\theta}{d\theta ^2 } =mgl \theta\]

\[\frac {d^2\theta}{d\theta ^2 } +\frac {gl}{(R_g^2+l^2)} \theta =0\]

en deferensiallikning som tar en løsning som:

\[\theta (t)=\theta _0 \sin \omega t\]

\[\omega =\sqrt \frac {gl}{(R_g^2+l^2)}\]

\[T=2\pi \omega \]

\[T =2 \pi \sqrt \frac {gl}{(R_g^2+l^2)}\]

for friksjonsfri bevegelse i vakuum med liten (infinitesimal) amplitude.

Modellens feil: