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Constructivisme mathématique (dit aussi intuitionnisme)

    <p class=default>
      
        L'hypothèse du continu fut un des grands problèmes des mathématiques (le premier des 22 
        problèmes de 
      
      
        <u>Hilbert <http://chronomath.irem.univ-mrs.fr/chronomath/Hilbert.html></u>
      
      
         énoncés en 1901). Les travaux de 
      
      
        <u>Gödel <http://chronomath.irem.univ-mrs.fr/chronomath/Godel.html></u>
      
      
         puis de 
      
      
        <u>Cohen <http://chronomath.irem.univ-mrs.fr/chronomath/Cohen.html></u>
      
      
         démontrèrent récemment (1963) l'indécidabilité de cette conjecture de Cantor et mirent 
        également fin aux "disputes" à propos de l'
      
      
        <u>axiome du choix <http://chronomath.irem.univ-mrs.fr/chronomath/Zermelo.html></u>
      
      
        , sans pour autant départager les divers partisans des trois "écoles" qui s'affirmèrent à 
        cette époque difficile pour les mathématiques :
      
      
        
      
    <br/>
      
        le 
      
      
        <i>logicisme</i>
      
      
        <i> </i>
      
      
        (
      
      
        <u>Dedekind <http://chronomath.irem.univ-mrs.fr/chronomath/Dedekind.html></u>
      
      
        , 
      
      
        <u>Cantor <http://chronomath.irem.univ-mrs.fr/chronomath/Cantor.html></u>
      
      
        , 
      
      
        <u>Peano <http://chronomath.irem.univ-mrs.fr/chronomath/Peano.html></u>
      
      
        , 
      
      
        <u>Frege <http://chronomath.irem.univ-mrs.fr/chronomath/Frege.html></u>
      
      
         et, principalement, 
      
      
        <u>Russell <http://chronomath.irem.univ-mrs.fr/chronomath/Russell.html></u>
      
      
        ) dont le discours (au sens discursif) se réfère à la logique propositionnelle du tiers 
        exclu, dont 
      
      
        <u>Boole <http://chronomath.irem.univ-mrs.fr/chronomath/Boole.html></u>
      
      
         fut le précurseur, et à la théorie "naïve" des ensembles. Les logicistes se satisfont 
        d'une définition cohérente d'un objet mathématique ou d'une démonstration prouvant son 
        existence. Exhiber l'objet n'est pas l'objet de leurs discours...
      
      
        <u>Russell <http://chronomath.irem.univ-mrs.fr/chronomath/Russell.html></u>
      
      
         et 
      
      
        <u>Whitehead <http://chronomath.irem.univ-mrs.fr/chronomath/Whitehead.html></u>
      
      
         (
      
      
        <i>Principia Mathematica</i>
      
      
        , 1910-1927) tentèrent d'améliorer ce système de pensée par une tentative d'axiomatisation 
        de la logique afin d'accéder à ce qui fut le voeu de 
      
      
        <u>Leibniz <http://chronomath.irem.univ-mrs.fr/chronomath/Leibniz.html></u>
      
      
         : la construction d'un langage universel.
      
      
        
      
    <br/>
      
        le
      
      
        <i> constructivisme </i>
      
      
        (dit aussi 
      
      
        <i>intuitionnisme</i>
      
      
        ) à l'instar de 
      
      
        <u>Kronecker <http://chronomath.irem.univ-mrs.fr/chronomath/Kronecker.html></u>
      
      
        , 
      
      
        <u>Poincaré <http://chronomath.irem.univ-mrs.fr/chronomath/Poincare.html></u>
      
      
        , 
      
      
        <u>Borel <http://chronomath.irem.univ-mrs.fr/chronomath/Borel.html></u>
      
      
        , mais surtout 
      
      
        <u>Brouwer <http://chronomath.irem.univ-mrs.fr/chronomath/Brouwer.html></u>
      
      
         et, plus récemment, 
      
      
        <u>Robinson <http://chronomath.irem.univ-mrs.fr/chronomath/Robinson.html></u>
      
      
         et 
      
      
        <u>Apery <http://chronomath.irem.univ-mrs.fr/chronomath/Apery.html></u>
      
      
         avec l'
      
      
        <i>analyse non standard</i>
      
      
        , est soucieux de définir ou de démontrer, tout en énonçant un algorithme permettant 
        d'exhiber l'objet mathématique étudié. Sa preuve abstraite d'existence ne suffit pas. Le 
        célèbre 
      
      
        <u>axiome du choix <http://chronomath.irem.univ-mrs.fr/chronomath/Zermelo.html></u>
      
      
         est ici refusé et le principe du 
      
      
        <i>tiers exclu</i>
      
      
         est remis en cause (principalement dans les domaines relevant de 
      
      
        <i>l'existence</i>
      
      
         d'un élément dans des ensembles infinis 
      
      
        <i>non dénombrables</i>
      
      
        ).
      
      
        
      
    <br/>
      
        Pour en savoir plus :
      
      
        
      
    <br/>
      
        • 
      
      
        <i>Penser les mathématiques</i>
      
      
        
      
    <br/>
      
        Ed. du Seuil, Paris, 1982
      
    <br/>
      
        • 
      
      
        <i>Mathématique construcive</i>
      
    <br/>
      
        p. 58 et suivantes, par Roger Apéry
      
    <br/>
      
        le 
      
      
        <i>formalisme</i>
      
      
         qui
      
      
         tendait à construire un fondement axiomatique abstrait de toute "
      
      
        <i>la</i>
      
      
         mathématique" fut prôné par 
      
      
        <u>Hilbert <http://chronomath.irem.univ-mrs.fr/chronomath/Hilbert.html></u>
      
      
         dès 1899 dans ses 
      
      
        <i>Grundenlagen</i>
      
      
        , puis par 
      
      
        <u>Bernays <http://chronomath.irem.univ-mrs.fr/chronomath/Bernays.html></u>
      
      
         (en collaboration avec 
      
      
        <u>Hilbert <http://chronomath.irem.univ-mrs.fr/chronomath/Hilbert.html></u>
      
      
        ) et les 
      
      
        <u>Bourbakistes  <http://chronomath.irem.univ-mrs.fr/chronomath/Bourbaki.html></u>
      
      
        (1938). Une rigoureuse axiomatique était censé lever les ambiguïtés et les contradictions 
        engendrées par la théorie "naïve" des ensembles. 
      
      
        <u>Gödel <http://chronomath.irem.univ-mrs.fr/chronomath/Godel.html></u>
      
      
         et 
      
      
        <u>Russell <http://chronomath.irem.univ-mrs.fr/chronomath/Russell.html></u>
      
      
         ont définitivement ruiné cette espérance.
      
      
         
      
    <br/>
      
        
      
    </p>

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